Varyans Analizi (ANOVA)

Bu makale, araçlar arasındaki farkın önemini belirlemede önemli ve sıkça karşılaşılan bir soruna varyans analizinin uygulanmasıyla ilgilenecektir.

Varyans, her zamanki gibi, bir puan setinin dağılımının bir ölçüsüdür. Skorların birbirinden ne kadar farklı olduğunu açıklar. Bireysel puanların kareden ortalama sapma ortalaması olarak tanımlanır.

buradaki x = X - M veya puanın ortalamadan sapması, yani varyans = SD'nin karesi

veya, varyans = σ 2 yani σ =

Bir varyans ölçümü bize grubun homojenliği hakkında fikir verir. Skor kümesinin varyansı, grubun başarıda homojen olduğu yerlerde daha az olacaktır. Diğer taraftan, eğer grup başarıda heterojen ise, puan setindeki varyans daha fazla olacaktır.

Varyans analizi, bilimsel araştırma sonuçlarını, sosyal ve fiziksel bilimlerde araştırma sonuçlarını analiz etmek için çok faydalı bir araçtır. Deneysel çalışmalarda araştırma sorularına cevap bulmak veya hipotezleri test etmek için, farklı bileşenlere göre varyans analiz edilir ve farklı kaynaklardan gelen varyanslar karşılaştırılır. Araştırmada farklı deneysel tasarımlarla karşılaştık ve boş hipotezler oluşturduk.

Varyans oranının (F) anlamlı olup olmadığını araştırmak için “varyans analizi” (ANOVA veya ANOVAR) tekniğini kullanıyoruz ve buna dayanarak boş hipotezin kabul edildiğini veya reddedildiğini düşünüyoruz.

Varyans kavramı ve ANOVA bir örnekle açıklığa kavuşturulur.

Örnek 1:

Aşağıdaki 4, 6, 3, 7, 5 puan dağılımının varyansını hesaplayın.

Burada Zx 2 ifadesi “puanların ortalamadan sapma karelerinin toplamı” olarak adlandırılır (kısaca SS). SS toplam puan sayısına (N) bölündüğünde, “Ortalama kare” veya MS alırız. Böylece varyansa Ortalama kare de denir. Sembolik,

V = MS veya V = SS / N

ANOVA terminolojisindeki bir varyansa genellikle 'Ortalama kare' (veya MS) denir. Varyans Analizinde (ANOVA), Ortalama kareler veya varyanslar SS'yi df ile bölerek hesaplanır. Böylece

Varyansın Bileşenleri:

Ayrıntılı varyans hesaplamaları yapılmadan önce, bileşenlerinden ikisine bir göz atmak gerekir:

(a) Sistematik varyans ve

(b) Hata sapması.

(a) Sistematik Varyans:

Bir deney düzeneğinde sistematik varyans, deney değişkeninin manipülasyonuna atfedilebilecek varyansın bir parçası, yani bağımsız değişkendir.

Örneğin, bir araştırmacı motivasyonun yani sözel ödülün ve tanınmanın iki eşit grubun akademik başarısı üzerindeki etkisini incelemek istiyor. İki homojen grup seçer ve bir gruba sözel ödül verir ve başka bir gruba tanınır. Daha sonra her iki gruba bir test uygular ve puanlarını alır.

(Burada, 'Motivasyon' bağımsız değişkendir ve 'elde edilen puan' bağımlı değişkendir). İki grubun tüm puanlarının varyansı hesaplandığında, toplam varyans (V t ) olarak adlandırılır. Toplam varyansın “motivasyon manipülasyonu” ile ilişkilendirilebilen kısmı sadece “Sistematik Varyans” olarak tanımlanabilir. Bu, gruplar arasındaki (veya Vb) varyanstır.

(b) Hata Varyansı:

Deneysel değişkenlerin etkisinin yanı sıra, bağımlı değişkeni etkileyebilecek yabancı değişkenler nedeniyle başka çeşitlilik kaynakları da vardır.

Bu nedenle hata varyansı, bir deneydeki diğer kontrolsüz varyasyon kaynaklarına atfedilebilen toplam varyansın bir parçasıdır.

Farklı kaynaklardan gelen hata varyansı sonuçları:

1. Yabancı değişkenlerden kaynaklanan kontrolsüz varyasyon kaynakları.

2. Deneysel birimlerdeki doğal değişkenlik.

3. Deneyde rastgele dalgalanmalar.

4. Eksikliği nedeniyle ölçüm hataları

(a) Standart deney teknikleri;

(b) Uygulamada tekdüzelik;

(c) Deneyin fiziksel davranışı;

(d) Deneklerin geçici duygusal durumu, vb.

Sembolik olarak Hata varyansı V e olarak ifade edilir. Yukarıdaki örnekte temel olarak bağımsız değişken olarak motivasyon ve bağımlı değişken olarak başarı puanları olmak üzere iki değişkenle ilgileniyoruz.

Bu iki değişkenin yanı sıra, araştırmacı bağımlı değişkeni etkileyen diğer değişkenlerle de karşılaşır. Bu tür diğer değişkenler, araştırmacının ilgilenmediği cinsiyet, zeka düzeyi, sosyal-ekonomik durum, yaş, eğitim vb. Olabilir.

Deneysel bir düzende kontrol edilmeyen ve bağımlı değişken oluşumunu etkileyen bu değişkenlere "yabancı değişkenler" veya "alakasız değişkenler" denir.

Bu değişkenler bir deneyde kontrol edildiğinde, deneysel hata en aza indirilebilir. Eğer bu yabancı değişkenler kontrol edilmezse, hata varyansının bir parçasını oluşturur. “Deneysel tasarımın ana işlevi sistematik varyansı maksimuma çıkarmak, yabancı varyans kaynaklarını kontrol etmek ve hata varyansını en aza indirmektir.” Böylece her araştırmacı deneysel hatayı azaltmak istiyor.

Hatayı en aza indirmek için aşağıdaki yollar kullanılabilir:

1. Harici değişkenler şu şekilde kontrol edilebilir:

a. randomizasyon,

b. Eliminasyon,

c. Eşleştirme,

d. Ek bağımsız değişken veya değişkenler ekleyerek ve

e. İstatistiksel kontrol ile.

2. Ölçüm hataları aşağıdakiler tarafından kontrol edilebilir :

a. Standart deney tekniklerini kullanarak,

b. Güvenilir ölçüm cihazları kullanmak,

c. İdare veya deney yapmada eşitliği sağlamak,

d. Açık ve net talimatlar vererek ölçümün güvenilirliğini artırmak.

Yukarıdaki tartışma, toplam varyansın iki bölümden oluştuğunu, yani,

V t = Vb + V e

V t = toplam varyans

V b = grup içi varyans (veya sistematik varyans)

V e = hata sapması.

ANOVA'da F-testi ile sistematik varyans hata varyansına karşı incelenmiştir.

F değeri ne kadar büyükse, sistematik varyansın deneysel hatadan daha büyük olması olasılığı (grup varyansı veya bireysel varyasyonlar içinde).

Sayısal bir örnek sistematik varyans ve hata varyansı arasında ayrım yapabilir.

Örnek 2:

Bir araştırmacı 10 öğrenciyi rastgele iki gruba (her grupta beşer) atar ve bu iki gruba iki motivasyon tedavisini rastgele düzenler.

Daha sonra araştırmacı bir testi yönetir ve aşağıda belirtildiği gibi on öğrencinin notlarını not eder:

İki grubun ortalamalarının farklı olduğu görülmektedir. Yani, gruplar arası varyansı buluyoruz. Gruplar arası varyans (Vb) aşağıdaki gibi hesaplanabilir. Ortalama 5 ve 7'yi iki puan olarak alalım ve bu iki puanın varyansını hesaplayalım.

Daha sonra toplam varyansı (V t ) her iki grubun da on puanını bir sütuna alarak hesaplayacağız.

V t, skorlardaki tüm varyasyon kaynaklarını içerir. Daha önce Vb (ya da grup arası değişkenlik) 1.00 olarak hesapladık.

Şimdi, her bir grubun varyansını ayrı ayrı hesaplayarak ve sonra bunların ortalamasını hesaplayarak bir başka sapma daha hesaplayalım.

Varyansları ayrı ayrı hesapladığımız ve sonra ortaladığımız için, bu varyansa “gruplar arasında varyans” veya V w diyoruz.

Örneğimizde V w = 3, 8

4.8 ( Vt ) = 1.00 (Vb) + 3.8 ( Vw )

veya V f = V b + V w [Toplam varyans = grup varyansı + grup içi varyans arasında].

ANOVA ile Karşılaşılan Temel Kavramlar:

ANOVA kullanarak sıfır hipotezini test etmek için sayısal problemleri almadan önce, ANOVA'da sıkça karşılaşacağımız iki kavram, yani (a) Kare Toplamı (SS) ve (b) Özgürlük Derecesi ( df ) ile tanışmalıyız.

(a) SS'nin Hesaplanması (Karelerin Toplamı):

ANOVA'da 'gruplar arası varyansı' (Vb) ve 'gruplar arası varyansı' (Vw) hesaplıyoruz. Vb ve Vw'yi şu şekilde hesaplıyoruz:

SS b = Grup karelerinin toplamı

ve SS W = Grup içi karelerin toplamı.

Bu iki varyansı F (F = nerede) olarak adlandırılan oranla karşılaştırıyoruz.

Şimdi kareler toplamının (SS) iki yöntemle nasıl hesaplanacağını öğrenelim.

Örnek 3:

Aşağıdaki puan dağılımının karelerinin toplamını hesaplayın.

7, 9, 10, 6, 8

Ortalama = 40/5 = 8

Yöntem-II (kısa yöntem):

SS, ortalama ve sapma hesaplanmadan doğrudan skorlardan hesaplanabilir. Bu, kısa yöntem olarak bilinir ve SS, formül kullanılarak hesaplanır,

Burada bireysel puanın ortalamasını ve ortalama puandan sapmalarını hesaplamak zorunda değiliz. İkinci yöntem, çok sayıda puan olduğunda ve ortalama ondalık sayıları içerdiğinde tercih edilir.

Böylece ANOVA'da formüllerin kullanılmasıyla karelerin toplamı hesaplanabilir.

Gruplar Arası Kareler Toplamı (SS b ) ve Gruplar Arası Kareler Toplamı (SS W ) Hesabı

Aşağıdaki iki yöntem SS t, SS b ve SS w hesaplamak için kullanılabilir.

Örnek 4:

Her biri beş denekten oluşan iki grupta iki farklı tedavi uygulanır.

Ve elde edilen puanlar aşağıdaki gibidir:

“Büyük Ortalama” (yani tüm on puanın ortalaması) M olarak belirtilsin

Şimdi M = 35 + 25/10 = 60/10 = 6

SS t, SS b ve SS w hesaplamaları (Uzun Yöntem):

SS t'nin hesaplanması:

SS t'yi hesaplamak için yukarıdaki on puandan her birinin sapma karelerinin toplamını büyük ortalamadan saptamak zorundayız (ör. 6)

SS b'nin hesaplanması:

SSb'yi hesaplamak için, grubun her bir öğesinin grup ortalamasına eşit olduğunu ve ardından farklı gruplar arasındaki varyansı incelediğini varsayıyoruz. Burada, çeşitli grupların araçlarının genel ortalamasından sapma karelerinin toplamını hesaplayacağız.

I grubundaki her bir maddenin değeri 7, grup II'nin her bir grubunun değeri 5 olarak alınmakta ve bu değerlerin kareler toplamından (M = 6) hesaplanacaktır.

SS b'yi aşağıdaki gibi tablo şeklinde hesaplayabiliriz:

SS hesaplanması:

SSW hesaplaması için, bir gruptaki çeşitli puanların sapma karelerinin toplamını ilgili grupların ortalamasından bulacağız.

SS W'nin hesaplanması tablo halinde sunulmuştur:

Toplam karelerin toplamı veya SS W = 10 + 6 = 16

Yukarıdaki hesaplamada SS t, = 26, SS b, = 10 ve SS W = 16 bulduk.

Böylece SS t = SS b + SS w

SS t, SS b ve SS w hesaplamaları (Kısa Yöntem):

Kısaca, SS t SS b ve SS W puanlarını aşağıdaki üç formülü kullanarak kolayca puanlardan hesaplayabiliriz.

Bu kısa yöntemde ortalamayı ve sapmaları hesaplamamız gerekmez. Farklı varyansları doğrudan puanlardan hesaplayabiliriz. ANOVA'da SS t ve SS b genellikle kısa yöntemle hesaplanır.

ANOVA ile ilgili problemleri çözerken SS ve SS t değerlerini bu kısa yöntemle hesaplayacağız.

(b) Serbestlik Dereceleri (df):

Her SS, kendisine tahsis edilen özgürlük derecelerine ( df ) bölündüğünde bir varyansa dönüşür. ANOVA'da serbestlik dereceleri ile karşılaşırdık ( df ). Her bir varyans için serbestlik derecesi sayısı, dayandığı V değerinden birdir.

Eğer N = hepsideki puan sayısı ve K = kategori veya grup sayısı ise, genel durum için:

toplam SS için df = (N - 1)

Gruplar Arası için df = (K - 1)

df SS = (N - K) grupları için

Ayrıca:

(N - 1) = (N - K) + (K - 1)

Varyans Analizi (Tek Yön):

Ayrı ayrı, ortalamalar arasındaki farkın önemini test etmeyi de tartıştık. İki numunenin ortalama olarak anlamlı farklılık gösterip göstermediğini belirlemek istediğimizde genellikle t-testi kullanılır.

İki grubu içeren deneylerle ilgilendiğimizde, iki aracın t testi kullanarak anlamlı şekilde farklılık gösterip göstermediğini test edebiliriz.

Ancak ikiden fazla araç karşılaştırılacaksa t testi yeterli değildir. Örneğin, dört grubun dört yolu vardır. Bu dört aracın birbirinden önemli ölçüde farklı olup olmadığını test etmek için altı t testi yapmak zorundayız.

Dört araç M 1, M 2, M 3, M 4 ise, M 1 ve M 2, yani (M 1 - M 2 ), M 1 ve M 3, yani (M 1 - M 3 ) arasındaki farkı karşılaştırmamız gerekir. ), M1 ve M4 arasında yani (M1 - M4), M2 ve M3 arasında (M2 - M3), M2 ve M4 arasında (M2 - M4), M3 arasında ve M4 yani, (M3 - M4). Benzer şekilde 10 araç için 45 t testi yapmamız gerekir.

K için K (K - 1) / 2 t testi yapmamız gerektiği anlamına gelir ve bu daha fazla hesaplama ve emek gerektirir. Ancak, ANOVA aracılığıyla F testi kullanarak, bir kerede üç veya üçten fazla yol farkının önemini değerlendirebiliriz.

Bir F Testinin dayandığı varsayımlar:

Her zaman olduğu gibi, kullanılan verilerde belirli varsayımların yerine getirildiği ölçüde istatistiksel bir karar alınmaktadır.

ANOVA'da genellikle belirtilen dört şart vardır:

1. Kümeler içinde örnekleme rastgele olmalıdır. Çeşitli tedavi grupları popülasyondan rastgele seçilir.

2. Çeşitli kümelerdeki varyanslar yaklaşık olarak eşit olmalıdır. Bu, varyansın homojenliği varsayımını belirtir, yani gruplar değişkenlik açısından homojendir.

3. Deneysel olarak homojen kümeler içindeki gözlemler normal dağılmış popülasyondan yapılmalıdır.

4. Toplam varyansa katkılar katkı olmalıdır.

C. Birkaç örnek alacağız ve gruplar bağımsız olduğunda varyansın nasıl analiz edildiğini göreceğiz:

Örnek 5:

Deneysel bir düzende 16 konu rastgele olarak her biri 8 konu olmak üzere iki gruba atanır. Bu iki grup iki farklı öğretim yöntemi ile tedavi edildi. Örnek yol arasındaki farkın önemini test edin.

Çözüm:

Genel Toplam (16 puanın toplamı) = 104 veya ∑X = 104

Genel ortalama (M) yani tüm 16 puanın ortalaması = ∑X / N = 104/16 = 6.5

F oranının hesaplanması için aşağıda belirtilen adımları izlememiz gerekir:

Aşama 1:

16 puanın toplamı 44 + 60 veya 104; ve düzeltme (C) buna göre

Adım 2:

Her iki grubun her skoru karelendiğinde ve toplandığında ∑X2 (∑X1 2 + ∑X2 2 = 260 + 460) 720 olur.

Sonra, 676 düzeltmesi, aşağıdaki formül kullanılarak toplamdan çıkarılır:

Toplam SS veya SS 1 = ∑X2 - C = 720 - 676 ​​= 44.

veya, SS t = 3 2 + 4 2 + 5 2 + …… .. + 9 2 - 676 ​​= 44

Aşama 3:

Kareler Toplamı SSb arasındaki, her bir sütunun toplamının karesi alınarak, birinci ve ikinci kısımları ayrı ayrı 8'e bölerek ve C'yi çıkararak bulunur.

Grup SS veya SS b arasında

4. Adım:

SS (veya SS W ) içindeki SS, SS t ve SS b arasındaki farktır. Böylece SS W = 44 - 16 = 28'dir.

Adım 5:

Tüm 16 puan olduğundan

F Oranının Yorumlanması:

Varyans oranı veya F, 16/2 veya 8'dir. Aralıklar için df, 1 ve df gruplar içinde 14'tür. Bu F ile Tablo 1'e girerek, sütun 1 ve satır 14'te 0, 05 seviyesinin 4, 60 olduğunu okuduk. .01 seviyesi 8.86'dır. Hesaplanan F, .05 düzeyinde önemlidir.

Ancak .01 düzeyinde anlamlı değildir. Başka bir deyişle, gözlenen F değeri .05 seviye değerinden büyük, ancak .01 seviye değerinden küçük. Bu nedenle, ortalama farkın .05 düzeyinde anlamlı olduğu ancak .01 anlamlılık düzeyinde anlamlı olmadığı sonucuna vardık.

Örnek 6:

(Grupların boyutları eşit olmadığında) Mesleki Eğitim sınıfındaki 6 çocuğa ve Latin sınıfındaki 10 çocuğa İlgi Testi uygulanmaktadır.

İki grup arasındaki ortalama fark .05 düzeyinde anlamlı mıdır? ANOVA ile farkın önemini test edin.

F Oranının Yorumlanması:

Varyans oranı veya F, 135/33 veya 4.09'dur. Ortalamalar arasındaki df, 1'dir ve gruplar içindeki df, 14'tür. Bu df'lerin Tablo 1'e girilmesiyle sütun 1 ve satır 14'te .05 seviyesinin 4.60 olduğunu ve .01 seviyesinin 8.86 olduğunu belirtiriz. 4.09 olarak hesapladığımız F değeri .05 seviyesine tam olarak ulaşamamıştır, bu nedenle ortalama 6 puan farkımızın anlamlı olmadığı kabul edilmelidir. Dolayısıyla boş hipotez kabul edilir.

Karşılaştırma yapılacak iki araç olduğu zaman, burada olduğu gibi; F = t 2 veya t = = √F ve iki test (F ve t) aynı sonucu verir. Yukarıdaki örnek için √F = √4.09 = 2.02. D tablosundan, 14 df için .05'in bu t için anlamlılık düzeyinin 2, 14 olduğunu bulduk.

2.02 t seviyemiz bu seviyeye tam olarak ulaşamıyor ve bu nedenle (F gibi) anlamlı değil.

Örnek 7:

(İkiden fazla grup)

Dört grubun ortalamalarının önemli ölçüde farklılık gösterip göstermediğini test etmek için ANOVA uygulayın:

Dört grupta 20 puan olduğundan:

toplam SS için df (veya SS 1 ) = (N - 1) veya 20 - 1 = 19

SSb için df = (K - 1) veya 4-1 = 3

SS w için df = (N - K) veya 20 - 4 = 16

F = 33.33 / 3.5 = 9.52

T = √F = 3.08

F oranının yorumlanması:

Varyans oranı veya F 9, 52'dir. Ortalamalar arasındaki df, 3'tür ve gruplar içindeki df, 16'dır. Bu df'lerle Tablo F'ye girildiğinde, sütun 3 ve satır 16'yı, .05 seviyesinin 3.24 ve .01 seviyesinin 5.29 olduğunu gösterir.

9.52 olarak hesapladığımız F, 5.29'dan fazla. Bu nedenle F önemlidir. Boş hipotez, dört aracın 01 düzeyinde önemli ölçüde farklılık gösterdiği sonucuna varılarak reddedilir.

(B) Aynı grup bir kereden fazla ölçüldüğü zaman varyans analizinde bir başka örnek ele alacağız, örneğin korelasyon halinde gruplar durumunda:

Bir test yapıldığında ve tekrar edildiğinde, ortalama değişimin anlamlı olup olmadığını belirlemek için varyans analizi kullanılabilir (yani, ilişkili gruplardan elde edilen araçlar arasındaki farkın önemi).

Örnek 8:

(İlişkili gruplar için)

Beş konuya, sadece 1 ve 4 deneme puanlarının gösterildiği basamaklı bir test üzerinden 4 deneme yapılır. Başlangıçtan son denemeye kadar ortalama kazanç önemli mi.

Varyans analizi için prosedürler şu anda yukarıda tartışılan yöntemlerden en az iki yolla farklıdır.

İlk olarak, birinci ve dördüncü denemelerde 5 denekten elde edilen puanlar arasında bir korelasyon olasılığı olduğu için, iki puan setinin başlangıçta bağımsız (rastgele) örnekler olarak ele alınmaması gerekir.

İkincisi, sınıflandırma şimdi iki kriter açısından: (a) denemeler ve (b) konular.

Bu iki kriter nedeniyle, toplam SS üç bölüme ayrılmalıdır:

(a) davalara atfedilebilir SS;

(b) konulara atfedilebilecek SS; ve

(c) Genellikle “etkileşim” olarak adlandırılan bir artık SS

Bu üç varyansın hesaplanmasındaki adımlar aşağıdaki gibi özetlenebilir:

Aşama 1:

Düzeltme (C). Önceki prosedürde olduğu gibi, C = (∑X) 2 / N. Yukarıdaki örnekte C, 90/10 veya 810'dur.

Adım 2:

Toplam Karelerin Toplamı. Yine hesaplama, Örnek 1, 2 ve 3'te kullanılan prosedürü tekrar eder.

Toplam SS veya SS t = 7 2 + 8 2 + 4 2 + 6 2 + 5 2 + 10 2 + 15 2 + 5 2 + 20 2 + 10 2 - C

= 1040 - 810 veya 230.

Aşama 3:

Denemeler arasında SS. Her biri 5 puanlık iki deneme vardır.

Bu nedenle,

4. Adım:

Konular arasında SS. İkinci sınıflandırma kriterine dikkat etmek için ikinci bir “araçların arasında” SS gerekir. 5 öğrenci / konu var ve her birinin iki denemesi var. Her bir konunun / öğrencinin 1. ve 4. denemelerinin puanları 17, 23, 9, 26, 15 almak için eklenir.

Bu nedenle,

Adım 5:

Etkileşim SS. Kalıntı değişimi veya etkileşimi, deneme farklılıklarının ve denek farklılıklarının sistematik etkileri toplam SS'den çıkarıldığında geriye kalan şeydir.

Etkileşim, deneklerin performansının denemelerle birlikte değişme eğilimini ölçer: ne deneklere ne de tek başına hareket eden denemelere atfedilebilecek faktörleri ölçer, daha doğrusu birlikte hareket edenlere.

Etkileşim sadece SS den artı SS den toplam SS den çıkarılarak elde edilmelidir.

Böylece,

Etkileşim SS = SS t - (SS Konular + SS denemeleri ) = 230 - (90 + 90) = 50.

6. Adım:

Toplamda 10 puan olduğundan toplam SS (10 - 1) veya 9 df. İki deneme 1 df ve 5 denek 4 alır. Kalan 4 df etkileşime atanır. Kural, etkileşim için df'nin iki etkileşimli değişken için df'nin ürünü olmasıdır, burada 1 x 4 = 4. Genel olarak, N = toplam puan sayısı, r = satırlar ve K = sütunlar.

F oranlarının yorumlanması:

Denemeler için F 7.2'dir. Denemeler için hesaplanan F değeri, df 1 = 1 ve df 2 = 4 olduğunda .05 noktası için Tablo F'de okuduğumuz 7.71'den azdır.

Bu, denemelere ilişkin sıfır hipotezinin kabul edilebilir olduğu ve kabul edilmesi gerektiği anlamına gelir. Kanıtlar, deneme 1'den deneme 4'e kadar önemli bir iyileşme olmadığına dair güçlü.

Denekler için F 1.8'dir ve df 1 = 4 ve df 2 = 4 için Tablo F'deki .05 noktasından 6.39'dan çok daha küçüktür. Deneklerin diğerlerinden daha iyi tutarlı olmadığı açıktır.

Bu, deneklerle ilgili sıfır hipotezinin kabul edilebilir olduğu ve kabul edilmesi gerektiği anlamına gelir.

İki Yönlü ANOVA:

İki veya daha fazla öğrenci grubuna farklı öğretim yöntemleri uygulanırsa belirli geometrik kavramları öğretmek için, bunu deneysel bir değişken olarak adlandırırız.

Tek yönlü ANOVA'da sadece bir faktör (yani bir bağımsız değişken) incelenmiştir. Örneğin, öğretim yöntemlerinin başarı üzerinde herhangi bir etkisinin olup olmadığını test etmek istediğimizde, bir bağımsız değişkenin (yani öğretim yöntemi) bağımlı değişken üzerindeki etkisini (yani başarı) inceliyoruz.

Veri kümeleri yalnızca bir deneysel varyasyon temelinde farklılaştırılmıştır. Sadece bir sınıflandırma ilkesi var, verileri kümelere ayırmanın bir nedeni.

Bunun için rastgele üç grup seçelim ve bu üç gruba rastgele üç farklı tedavi viz., Yöntem-1, yöntem-2 ve yöntem-3'ü atayalım.

Sonunda, üç farklı gruba ait deneklerin başarı puanları uygun bir testle elde edilebilir.

Daha sonra ANOVA kullanarak bu üç grubun araçlarının anlamlı farklılık gösterip göstermediğini test edebiliriz.

İki yönlü bir sınıflandırmada veya iki yönlü ANOVA'da, iki farklı sınıflandırma tabanı vardır. İki deney koşulunun gruptan gruba değişmesine izin verilir. Psikolojik laboratuarlarda, her biri farklı işaretleme desenine sahip farklı yapay hava alanı iniş pistleri, sisin farklı seviyelerde opaklıkta görmeyi uyarması için bir difüzyon ekranından görüntülenebilir.

Bir eğitim probleminde, her biri dört yöntemden her birini kullanan beş farklı öğretmen tarafından belirli bir geometrik kavram öğretmenin dört yöntemi uygulanabilir. Bu nedenle, 20 öğretmen ve yöntem kombinasyonu olacaktır.

Aşağıdaki tablo sizden önce gelebilir:

Aşağıda verilen bir örnekte, üç öğretim yönteminin başarı puanları üzerindeki etkileri incelenmiştir. Ancak, öğretim yöntemlerinin deneklerin sosyo-ekonomik durumunun (SES) seviyesine bağlı olarak farklı etkiye sahip olması beklenmektedir.

Bu nedenle, iki değişkenin etkisinin, yani öğretim yöntemlerinin etkisi ve sosyo-ekonomik durum düzeylerinin (SES) etkisinin aynı anda çalışılabileceği bir çalışma tasarlayabiliriz. Bu tasarımda etkileşim etkisini de inceleyebiliriz. Bu tür tasarımlar için iki yönlü ANOVA teknikleri kullanılır.

Örnek 9:

Altı tedavi koşulu için altı öğrenci grubu (her biri beş öğrenci) rastgele seçilmiştir. Aşağıdaki örnekte iki faktörün, faktör A'nın (sosyo-ekonomik durum) ve faktör B'nin (öğretim yöntemlerinin) etkisini inceleyin.

Çözüm:

Yukarıdaki örnekte, iki seviye SES viz., A 1 kategorisinde Yüksek SES ve A2 kategorisinde Düşük SES ve üç öğretim viz., B1 (ders), B2 (tartışma) ve B3 ( oyun yolu).

Deneydeki toplam tedavi sayısı 2 x 3 = 6 olacaktır. Burada n = 5 ve toplam gözlem sayısı N = 5 x 6 = 30 olacaktır.

Genel toplam, ∑X = 30 + 50 + 40 + 25 + 45 + 35 = 225.

Altı farklı tedavi grubu, aşağıda gösterildiği gibi bir 'Etkileşim tablosunda' sunulabilir:

Üç öğretim yöntemi için üç sütun vardır (.. C = 3). Satır toplamları, A (SES) için SS hesaplamasında kullanılır. Sütun toplamları B için SS hesaplamasında kullanılır (öğretim yöntemleri).

Varyansların hesaplanmasındaki adımlar aşağıdaki gibi özetlenebilir:

Aşama 1:

Adım 2:

Toplam SS veya SS t = ∑X 2 - C. Burada tüm otuz puanlar karelendi ve eklendi ve C çıkarıldı.

SS t = 5 2 + 7 2 + ……… + 10 2 + 7 2 - 1687, 5 = 1919 - 1687, 5 = 231, 5

Aşama 3:

Grup SS veya SS arasında, b = altı tedavi koşulu için toplam (∑X) 2 / n - C

4. Adım:

Grup İçinde SS veya SS W = SS t - SS b = 231, 5 - 87, 5 = 144

Adım 5:

Şimdi “Grup SS Arasında” veya 87.5 olan SSb üç bölüme ayrılabilir; SS A, SS B ve SS AB, yani SS b = SS A + SS B + SS AB

SS A = A 1 ve A 2 sapmasından kaynaklanan faktör A (SES) SS toplam puanların ortalaması anlamına gelir.

SS B = B 1, B 2 ve B 3 sapmalarından üretilen B faktörünün SS (yöntemleri), toplam puanların ortalaması anlamına gelir.

6. Adım:

Farklı SS'ler için serbestlik dereceleri

Bizim sorunumuzda 6 grubumuz var.

.˙. K = 6

n = 5 ve N = 6 xn = 6 x 5 = 30

Etkileşim tablosunda iki satır ve üç sütun vardır

.˙. r = 2 ve C = 3'tür.

Df'nin bölümlenmesi şu şekilde yapılabilir:

SS t = N - 1 = 30 - 1 veya 29 için df

SS b için df = K - 1 = 6 - 1 veya 5

SSW için df = K (n - 1) = 6 x 4 veya 24

Df tilki SS b, üç bölüme ayrılabilir:

(i) SSA için df = r - 1 = 2 - 1 veya 1

(ii) SSB için df = c - 1 = 3-1 veya 2

(iii) ds SS AB için = (r - 1) (C - 1) = 1 x 2 veya 2

Şimdi yukarıdaki hesaplamayı iki yönlü ANOVA Özet tablosuna girebiliriz:

F oranının yorumlanması:

(a) SES için F veya A için F

F = MS A / MS W = 7.5 / 6.0 = 1.25

(.052 birden az)

0, 05 düzeyinde 1, 25 <4, 26 F olarak rastgele seçilen iki grubun sosyoekonomik durum temelinde başarı puanlarında farklılık göstermediği hipotezini koruyoruz.

.67 düzeyinde 6.67> 5.6 olan F olarak, boş hipotezi reddediyoruz. Üç öğretim yönteminin başarı puanlarını farklı şekilde etkilediği sonucuna vardık.

0.00 <1 olan F olarak, boş hipotezi koruruz. Etkileşim olmayan boş hipotezi kabul ediyoruz. Yöntemlerin etkinliğinin sosyo-ekonomik durum seviyesine bağlı olmadığı sonucuna varıyoruz.