Doğrusal Programlama: Uygulamalar, Tanımlar ve Sorunlar

Doğrusal Programlama: Uygulamalar, Tanımlar ve Sorunlar!

(i) Gıda işleme endüstrileri ve petrol rafinerileri vb. için zamanlama geliştirmek.

(ii) Metal işleme endüstrilerinde mağaza yükleme ve çeşitli parçaların satın alınması ve üretilmesi arasındaki seçimin belirlenmesinde kullanılır.

(iii) Demir çelik endüstrisindeki çeşitli demir cevherlerini değerlendirmek için kullanılır.

(iv) Kağıt fabrikalarındaki trim kayıplarının miktarını azaltmak için kullanılır.

(v) İletişim ağında masajların en uygun şekilde yönlendirilmesini bulmak için kullanılır.

Doğrusal Programlamanın Tanımı:

Doğrusal programlama, bir kuruluşun kaynaklarının en iyi şekilde kullanılmasını belirlemek için kullanılan matematiksel bir araçtır. Doğrusal programlama, planlama ve karar verme konusunda yöneticilere yardımcı olmak için tasarlanmıştır. Karar verme aracı olarak, üretim, pazarlama finansmanı, araştırma ve personel atamaları gibi farklı alanlarda değerini göstermiştir.

Optimum ürün karışımının belirlenmesi, taşıma programları portföy seçimi makine atama; tesis yeri ve iş gücü tahsisi vb. doğrusal programlama yardımıyla çözülebilen birkaç problem türüdür.

Samuelson ve Slow, “Bir çok değişkenli doğrusal bir fonksiyonun, bu değişkenler eşitlikteki lineer formdaki sayıya veya sınırlamaya tabi tutulduğunda maksimize edilmesi (veya minimize edilmesi) problemlerinin analizi”, Samuelson ve Yavaş.

Loomba'ya göre, “Doğrusal programlama, tüm programların işletme hedeflerinin gerçekleştirilmesinde nihai etkileri açısından tasarlandığı ve değerlendirildiği yönetime sistem yaklaşımı olarak adlandırılanın sadece bir yönüdür”.

Doğrusal Programlama Problemleri-Grafik Yöntem:

Grafiksel yöntemin aşamaları şöyle özetlenebilir;

1. Doğrusal programlama problemini formüle eder

2. Verilen kısıtlama çizgilerini denklemler olarak düşünün.

3: Yukarıdaki grafikten uygulanabilir çözüm bölgesini tanımlayın

4. Uygun çözüm bölgesinin köşe noktasını bulun.

5. Köşe noktalarındaki objektif fonksiyonun değerini hesaplayın.

6. Şimdi objektif fonksiyonunun optimal değere sahip olduğu noktayı seçin.

Örnek 1:

Saatlerinin inşasını tamamladıktan sonra, Gopalan, 100 metre kare kontrplak hurdası ve 80 metre kare beyaz çam hurdasının, Masa ve Kitap Örtüsünün yapımında kullanılabilecek biçimde olduğunu buldu. Bir kitaplık yapmak için 16 fit kare kontrplak ve 8 fit kare beyaz çam, 12 fit ft kontrplak ve 16 fit ft beyaz çam gerekir. Bitmiş ürünleri yerel bir satıcıya satarak Rs karı elde edebilir. Her masada 25 ve Rs. Her kitapta 20. Solu tahtadan en karlı şekilde nasıl kullanabilir? LLP'yi çözmek için Grafik yöntemini uygulayın

Çözüm:

X _2’nin tablo sayısı olmadığını ve X _2’nin kitap örneklerinin sayısı olmadığını varsayalım.

Şimdi kısıtlamayı grafik üzerinde geçici olarak çizmek için eşitsizlikleri aşağıdaki gibi denkleme dönüştüreceğiz:

Bu tür kısıtlamaları karşılayan x ₁ ve x ₂ değerlerinin herhangi bir kombinasyonuna uygulanabilir çözüm denir. Kısıtlamanın sağladığı Şekil 15.1'deki OABC alanı, gölgeli alanla gösterilir ve uygulanabilir çözüm bölgesi olarak bilinir.

Maksimum Z = 160

x ₁ = 4

x ₂ = 3 Ans.

Örnek 2:

Bir mobilya imalat işletmesi sandalye ve masa üretmektedir. Aşağıda verilen veriler tüketilen kaynakları ve birim karı göstermektedir. Ayrıca, odun ve işçiliğin mobilya imalatında tüketilen iki kaynak olduğu varsayılmaktadır. Firmanın sahibi toplam karı maksimize etmek için kaç sandalye ve masa yapılması gerektiğini belirlemek ister.

Çözüm:

X'i, x2'nin sayısı hayır olalım. sandalyelerin öyle ki.

Şimdi kısıtlamaları grafik üzerinde geçici olarak çizmek için eşitsizlikleri denklemlere dönüştüreceğiz:

Benzer şekilde denklemde

X değerinin ve verilen kısıtlamayı karşılayan herhangi bir kombinasyonu, uygulanabilir çözüm olarak bilinir. Kısıtlamalarla karşılanan OABC 'm Şekil 15.2 alanı gölgeli alanla gösterilir ve uygulanabilir çözüm bölgesi olarak bilinir. Bölgenin köşesindeki noktanın koordinatı, B noktasında kesişen çizgilerin iki denklemi çözülerek elde edilebilir.

Dolayısıyla Z = 96

x ₁ = 4

x ₂ = 9 Ans.

Örnek 3:

Bir şirket iki tür kalem üretiyor, A & B diyelim. A kaleminin üstün bir kalite ve 6'nın kalitesi düşük. A ve B kalemlerindeki kazanç R'dir. Kalem başına sırasıyla 5 ve Rs.3. Her kalem A için gereken hammadde, B kaleminin iki katıdır.

Hammadde temini, günde yalnızca 1000 kalem B tipi için yeterlidir. A Kalemi için özel bir klips gerekir ve günde yalnızca 400 klips vardır. B kalemi için günde sadece 700 klip bulunur. Ürün karını grafiksel olarak bulun, böylece şirketin maksimum kar elde etmesini sağlayabilirsiniz.

(Delhi Üniversitesi MBA Nisan 1988)

Çözüm:

X ₁ = A Tipi kalemler sayısı

x ₂ = B Tipi kalem sayısı

Problemlerin matematiksel formülasyonu

Yukarıdaki kısıtlamaların eşitsizliğini, grafiği çizmek için eşitliklere dönüştürerek

Yukarıdaki çizgilerin grafik üzerinde çizilmesiyle, x ₁ x ₂, üç sınırlamayı da x ₁ ≥ 0 ve x ₂ ≥ 0 olarak karşıladığımız için yukarıdaki Şekil 15.3 uygulanabilir bölge olarak ODABE'yi oluşturur.

Farklı noktalar altında olduğu gibi değerlendirilir.

Yukarıdaki tablodan açıkça görüldüğü gibi maksimum Rs değeridir. B noktasında 2850

Öyleyse x ₁ = 150, x ₂ = 700 ve Z = 2850

Örnek 4:

GJ Breveries Ltd. Biri G'de diğeri J'de bulunan iki şişe fabrikasına sahip. Her bitki sırasıyla A, B ve C olarak adlandırılan üç içecek-viski, bira ve brendi üretir. Günde üretilen şişe sayısı aşağıdaki gibidir.

Bir piyasa, Temmuz ayı boyunca 20000 şişe viski, 40000 şişe bira ve 44000 şişe brendi talebi olacağını belirtti. G ve J tesisleri için günlük işletme maliyeti 600 ve 400 para birimidir. Her fabrika, üretim talebini en aza indirgemek ve aynı zamanda pazar talebini karşılamak amacıyla Temmuz ayında kaç gün sürecek? Grafiksel olarak çöz?

Çözüm:

Sorunun verileri aşağıdaki gibidir:

Şimdi amaç, problemin matematiksel yolla sunulabileceği maliyeti en aza indirmektir.

Grafikteki kısıtlamaları çizmek için yukarıdaki kısıtlamaların eşitsizliğinin elde ettiğimiz eşitliklere dönüştürülmesine izin verin.

1500x1 + 1500x2 = 20000

3000x1 + 1000x2 = 40000

20000x ₁ + 5000x2 = 44000

Sahip olduğumuz yukarıdaki denklemlerin sadeleştirilmesi

Çözüm, her biri tip kısıtlamalarına eşit veya ondan daha büyük olduğu için ilk kadranda olacak, böylece noktalar (x _v x ₂ ) çizilen çizgilerin her birinin sağına düşen bölgede olacak.

Yukarıdaki grafikte sınırlandırılmamış çözüm bölgesi ABC'dir ve B'deki değeri bulmak için bölümler arası denklemi çözeriz ve aynı anda.

Örnek 5:

Bir petrol rafinerisinin yöneticisi, üretim çalışması başına girdi ve çıktıların aşağıdaki gibi olabileceği iki olası harmanlama işleminin optimum karışımına karar vermelidir:

Ham A ve B için maksimum miktar sırasıyla 200 ve 150 birimdir. Piyasa gereksinimi, en az 100 birim ganoline X ve dolayısıyla benzin Y birimleri üretilmesi gerektiğini göstermektedir.

Proses 1 ve proses 2'den elde edilen üretim başına kar Rs'dir. 300 ve Rs. Sırasıyla 400. LP'yi grafik yöntemle çözün.

(Gujarat Üniversitesi MBA 1989)

Çözüm:

Verilere göre problemlerin matematiksel formülasyonu

Maksimum Z = 300x1 + 400x2

Tabi

5x1 + 4x2 = ≤ 200

3x ₁ + 5x ₂ = ≤ 150

5x1 + 4x2 = ≥ 100

8x ₁ + 4x ₂ = ≥ 80

Bu kısıtlamaları grafik üzerinde göstermek amacıyla, bunları eşitliklerle eşitlik olarak düşünelim.

Eğer grafiğe değer çizersek, Şekil 15.5'te gösterildiği gibi elde ederiz.

Çözelti, LMN, O, P çözelti bölgesinin köşe noktalarından birinde uzanır ve bilinmeyen değeri yani O olduğunu belirlemek için, kavşak denklemlerini aynı anda çözeriz.

Örnek 6:

Bir firma x ürününü üretiyor ve y toplam 9 ton kapasiteye sahip üretimine devam ediyor. Günde x ve y aynı üretim kapasitesini gerektirir. Firmalar, başka bir şirkete günde en az 2 ton x ve en az 3 ton y tedarik edecek kalıcı bir sözleşmeye sahiptir. Her bir x tonu, 20 tezgah saat üretim süresi gerektirir ve her bir y ton, 50 tezgah saat üretim süresi gerektirir.

Günlük mümkün olan maksimum makine saati sayısı 360'tır. Firmanın çıktısı satılabilir ve elde edilen kar Rs'dir. Ton x başına 80 ve R. Ton başına 120. Maksimum kar için üretim programını belirlemek ve maksimum kar için üretim programını hesaplamak ve karı hesaplamak gerekir.

(Delhi Üniversitesi MBA Nisan 1983)

Çözüm:

Verilen LP aşağıdaki gibi matematiksel olarak yazılabilir:

Eşitsizlikler yukarıdaki değerleri grafikte aşağıdaki gibi çizmek için denklemler gibi ele alınsın:

Bu denklemleri, Şekil 15.6'da gösterilen grafikte çizelim.

Diyagramdan EFGH'nin Çözüm Bölgesi olduğu ve çözümün EFGH'nin köşe noktasında olduğu açıktır.

İncelemedeki değer

E = (2, 3)

F = (6, 3)

“Değer H de ayarlanan iç hatların eşzamanlı denklemleri ile hesaplanabilir.

20x1 + 50x2 = 360

x ₁ = 2

x ₂ = 320/50 = 6, 4

Denklemlerin kesiştiği G noktasındaki bilge gibi

20x1 + 50x2 = 360… (1)

x ₁ + x ₂ = 9… (2)

Bu denklemleri çözerek elde ederiz

x ₁ = 3, x ₂ = 6

Maksimum kar, G noktasındadır.

x ₁ = 3

x ₂ = 6

Z = 960 Ans.

Örnek 7:

Özel amaçlı bir tuğlanın standart ağırlığı 5 Kg'dır ve iki temel bileşen içerir (6 ₁ ve S _2, Rs'dir). Kg başına 5 ve S ₂ Rs'dir. Kg başına 8.

Mukavemet değerlendirmesi, tuğla için 4 Kg'dan daha az S ve en az 2 Kg S2 içermesini zorunlu kılar çünkü ürüne olan talebin, tuğla fiyatıyla ilgili olması muhtemeldir, çünkü yukarıdaki grafiğe uygun minimum tuğla maliyetini karşılamaktadır. koşullar.

(ICWA, Haziran 1982)

Çözüm:

Verilen veri matematiksel şekilde aşağıdaki gibi verilebilir:

Kısıtların eşitsizliklerini, o zaman için denklem olarak ele alırsak, denklemin grafiğe çizilebilmesi için.

Şimdi bu değerleri grafiğe çiziyoruz.

Kısıtlamalardan biri eşitlik x ₁ + x ₂ = 5 olduğundan, bir çözüm yoktur, aksine tüm koşulları sağlayan bir çözüm noktasıdır, yani S noktası (3, 2)

Z = 31

x ₁ = -3

x ₂ = 2Ans.

Örnek 8:

Aşağıdaki doğrusal programlama problemini grafiksel olarak çözün.

Çözüm:

Verilen kısıtlamaların eşitsizliklerini eşitliklere dönüştüren grafiği çizmek için,

Şimdi, Şekil 15.8'de gösterildiği gibi yukarıdaki çizgileri grafik üzerinde çiziniz. Çapraz gölgelenmiş ve ABCDE ile sınırlandırılmış olan uygulanabilir çözüm bölgesi. Z'nin farklı noktalardaki değeri aşağıdaki gibidir.

Kesişen çizgilerin A noktası

2x1 - x ₂ = -2

2x ₁ + 3x ₂ = 12

Onları eşzamanlı olarak çözüyoruz

x ₁ = 0.75

x ₂ = 3.5

B noktasında kesişen çizgiler

2x1 - x ₂ = -2

-3x ₁ + 4x2 = 12

Bu denklemleri çözerek B nin koordinatlarını alırız.

x ₁ = 0, 8

x ₂ = 3.6