Merkezi Eğilim: Anlam, Kullanım ve Ölçüler
Merkezi Eğilim: Anlam, Kullanım ve Ölçüler!
Merkezi Eğilimin Anlamı:
Merkezi eğilim ölçüleri, iki kelimenin birleşimidir; yani 'ölçü' ve 'merkezi eğilim'. Ölçüm, yöntemler ve merkezi eğilim, herhangi bir istatistiksel serinin ortalama değeri anlamına gelir. Dolayısıyla, merkezi eğilimin, istatistiksel bir nicel bilgi dizisinin merkezi değerini veya ortalama değerini bulma yöntemleri anlamına geldiğini söyleyebiliriz.
JP Guilford, “ortalamanın bir grup gözlem veya kişinin temel değeri” olduğuna dikkat çekti .
Clark'a göre “Ortalama, rakamın tamamını tanımlamak için tek bir figür bulma çabasıdır”.
AE Waugh sözleriyle: “Ortalama, onları aynı şekilde temsil etmek için bir değer grubundan seçilen tek bir değerdir - bir parçası olduğu bütün gruba ait olması beklenen, tüm değerlerin tipik olduğu bir değerdir. grupta."
Bu nedenle, ortalama ya da merkezi eğilimin, tüm seri hakkında merkezi bir fikir vermek için verilen bir dağıtımdan hesaplanan tek bir rakam olduğu söylenebilir. Ortalamanın değeri, serideki maksimum ve minimum değer dahilindedir.
Merkezi Eğilimin Kullanım Alanları:
Merkezi eğilim, aşağıdaki nedenlerden dolayı gereklidir:
1. Ortalama, serinin genel görüntüsünü sağlar. Bir araştırma alanıyla ilgili her bir gerçeği hatırlayamıyoruz.
2. Ortalama değer, rehberlik ve gerekli sonuç için incelenen alan hakkında net bir resim sağlar.
3. Grubun performansının bir bütün olarak kısa bir açıklamasını verir ve iki veya daha fazla grubu tipik performans açısından karşılaştırmamızı sağlar.
Merkezi Eğilim Ölçüleri:
Örneğin, üç merkezi eğilim ölçütü vardır:
(1) Aritmetik ortalama.
(2) Ortanca ve
(3) Mod.
(1) Ortalama (M):
Ortak bir insan için ortalama, aritmetik ortalama anlamına gelir. Basitliği, sertliği vb. Nedeniyle en popüler şekilde kullanılır.
Bir aritmetik ortalama, “bir değişkenin değerinin toplamını, gözlemlerinin veya öğelerinin toplam sayısına bölerek elde edilen bölüm” olarak tanımlanır .
Yukarıda II Garett (1985 P) “Aritmetik ortalama ya da daha basitçe ortalama, ayrı puanların ya da sayılarına bölünerek ölçülen değerlerin toplamıdır”.
Ortalama Hesaplama Yöntemleri:
Ortalama hesaplamak için çeşitli yöntemler vardır. Ancak burada sadece iki yöntemi tartışacağız.
Aşağıdaki gibidir:
1. Doğrudan yöntem veya Uzun yöntem.
2. Kısa yöntem veya Varsayılan ortalama yöntem.
1. Doğrudan Yöntem veya Uzun Yöntem:
Bu yöntemde ortalama doğrudan verilen seriden hesaplanır. Bu yöntemde gruplanmamış verilerden ortalama hesaplayabilir ve gruplandırılmamış verilerden ortalama hesaplamak için formül kurabiliriz.
Gruplandırılmamış verilerden ortalama hesaplamak için formül:
Gruplandırılmış verilerden ortalama aşağıdaki formülle hesaplanır:
İllüstrasyon:
Direkt yöntemle aşağıdaki frekans dağılımlarından ortalamayı hesaplayın:
2. Kısa Yöntem veya Varsayılan Ortalama Yöntemi:
Varsayılan ortalama metodu olarak bilinir, çünkü orta noktalardan ortalamayı hesaplamak yerine ortalamayı bulmak için ortalamayı varsayıyoruz. İlk önce 'tahmin' veya bir ortalama varsayıyoruz, sonra kesin değeri bulmak için bu varsayılan değere bir düzeltme uyguluyoruz.
Varsayılan ortalama yönteminde ortalamayı bulmak için formül aşağıda verilmiştir:
Aşağıda kısa yöntemde ortalamayı hesaplamak için adımlar tartışılmıştır:
Aşama 1:
Dağılımın herhangi bir orta noktasını ortalama olarak kabul edin. Ancak en iyi plan, merkezin yakınında en yüksek frekansa sahip bir aralığın orta noktasını almaktır.
Adım 2:
X 'sütununu bulun, x' ise puan ile varsayılan ortalama arasındaki sapmadır.
Burada x 'i aşağıdaki formülü kullanarak bulabiliriz:
Aşama 3:
Fx sütununu bulun. F sütunu x 'sütunu ile çarpılarak bulunur.
Adım 4:
X f x. Tüm pozitif değerleri ve negatif değerleri ayrı ayrı ekleyin. Ardından ∑ f x olan cebirsel toplamı bulun.
Adım 5:
9.4 formülünü kullanarak ortalamayı bulun.
İllüstrasyon:
Dağılımın ortalamasını varsayılan ortalama yöntemde bulun.
Bir matematik testinde 50 öğrencinin notları aşağıdaki dağılımda sunulmuştur:
Burada, ortalama olarak kabul edildiği gibi, Ci 40-49'un orta noktasını 44, 5 olarak aldık. Şimdi ortalama 8, 4'ü kullanarak ortalama bulabiliriz.
Kombine Ortalama:
Bir dizi farklı seri için ayrı araçlar, bu tür bir dizinin her birindeki öğelerin sayısı verildiğinde, bütün farklı serilerin birleşik aritmetik ortalamasını üretebilir. Bu, grup sayısı n olduğunda aşağıdaki formülle hesaplanır.
İllüstrasyon:
Aşağıda 4 okulun VI. Sınıf öğrencisinin ortalaması verilmiştir. Genel olarak VI. Sınıf öğrencilerinin anlamı nedir.
Bileşik ortalamaları 9.5 formülünü uygulayarak bulabiliriz:
Yani tüm VI sınıfı öğrencilerin ortalaması 55, 25'tir.
Ortalama Kullanımları:
Ortalamanın kullanımı için bazı genel kurallar vardır. Bu kullanımların bazıları aşağıdaki gibidir:
1. Ortalama dağılımdaki ağırlık merkezidir ve her bir skor, puanların yayılması simetrik olarak merkezi bir nokta etrafında olduğunda bunun belirlenmesine katkıda bulunur.
2. Ortalama, medyan ve moddan daha kararlıdır. Böylece merkezi eğilim ölçülmesinde en fazla kararlılığa sahip olunması istendiğinde ortalama kullanılır.
3. Ortalama SD, korelasyon katsayısı, ANOVA, ANCOVA vb. Gibi diğer istatistikleri hesaplamak için kullanılır.
Ortalama Değerleri:
1. Ortalama katı bir şekilde tanımlanmıştır, bu nedenle anlamı ve doğası hakkında yanlış anlaşılma sorunu yoktur.
2. Anlaşılması kolay olduğu için en popüler merkezi eğilimdir.
3. Hesaplamak kolaydır.
4. Bir dağılımın tüm puanlarını içerir.
5. Sonuçlamanın güvenilir olması için örneklemeden etkilenmez.
6. Ortalama, daha fazla cebirsel işlem yapabilme yeteneğine sahiptir, böylece dağılım, korelasyon, çarpıklık gibi diğer farklı istatistikler hesaplama için ortalama gerektirir.
Ortalama Demetleri:
1. Ortalama, aşırı puanlardan etkilenir.
2. Bazen ortalama, dizide bulunmayan bir değerdir.
3. Bazen saçma değerler verir. Örneğin, bir okulun VIII, IX ve X sınıflarında 41, 44 ve 42 öğrencileri vardır. Yani, sınıf başına ortalama öğrenci 42.33'tür. Bu asla mümkün değil.
4. Açık uçlu sınıf aralıklarında, açık uç sınıfların büyüklüğü varsayılmadan hesaplanamaz.
(2) Medyan:
Ortanca bir başka merkezi eğilim ölçüsüdür. Konumsal bir ortalamadır, çünkü değeri bir dizinin değer sütunundaki konumuna göre belirlenir. Collins İstatistik Sözlüğü'nde, “eşit dağılımdaki sıklık veya olasılık değerlerine sahip olan dağılımın orta değeri, altında ve üstünde” olarak tanımlanmaktadır .
D. Patri (1996), medyanı “artan veya azalan düzende düzenlenmiş bir dizinin orta öğesinin değeri olarak tanımlar. Dolayısıyla bir seriyi iki eşit parçaya böler. ”
Medyan, yüzde elli vakanın altında ve yüzde elli vakanın altında olduğu dağılımda bir nokta olarak tanımlanabilir.
Gruplandırılmamış Verilerden Medyan Hesabı
Gruplandırılmamış verilerde, puanlar büyüklük sırasına göre düzenlenir. Daha sonra ortanca olan orta nokta belirlenir. Bu süreçte, medyan hesaplanırken iki durum ortaya çıkar: (a) N tuhaf (b) N düzdür İlk önce N tuhaf olduğunda medyanı (Mdn) nasıl hesaplayacağımızı tartışacağız.
İllüstrasyon:
9. sınıfta öğrenciler, kelime testinde aşağıdaki notları aldılar. Medyanı bulun.
İşaretler — 6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9
Gruplanmamış verilerde
N olduğunda bile Mdn'yi nasıl hesaplayacağımızı tartışalım.
İllüstrasyon:
İngilizce yazım testinin 10 öğrencisinin aşağıdaki verilerinin Mdn değerini hesaplayın.
İşaretler = 7, 6, 8, 12, 7. 9, 11, 10, 13, 14
Problemi çözmek için büyüklük sırasına göre düzenlemeliyiz
6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Şimdi 8.6 formülünü uygulayarak alıyoruz;
Gruplanmış Verilerden Medyan Hesabı
Medyanın dağılımı iki eşit yarıya dağıtan bir nokta olduğunu biliyoruz.
Gruplandırılmış verilerden medyanı bulma formülü şu şekildedir:
L = Ortanca sınıfının alt sınırı.
Ortanca sınıf, kümülatif sıklığı N / 2 değerinden daha büyük olan sınıftır, yani N / 2> cf (kümülatif frekans)
N / 2 = Toplam puanın yarısı.
F = Orta sınıfın altında iç sınıfın kümülatif frekansı.
fm = Ortanca sınıfın sıklığı.
i = Dahili sınıfların büyüklüğü.
Gruplandırılmış veriden mdn'yi hesaplama adımları:
Aşama 1.
N / 2, yani dağılımın% 50'sini hesaplayın.
Adım 2:
Dağılımın kümülatif frekansını alt uçtan hesaplayın.
Aşama 3:
Mdn sınıfını bulun. Sınıf aralığının kümülatif frekansı, N / 2> cf
Adım 4:
F mdn sınıfının altındaki kümülatif frekansı bulun.
Adım 5:
Fm öğrenin. ve tüm değerleri formülde koyun.
İllüstrasyon:
Dağılımın ortancasını bulun.
Aşağıda 40 öğrencinin matematik sınavındaki puanları verilmiştir:
L = 59, 5 Çünkü N / 2, 20, 60-61 sınıf aralığının kümülatif frekansına dahil edilir ve Ci = 59.5-61.5 arasındaki kesin sınırlar.
F = 17. mdn sınıfının altındaki kümülatif frekans.
fm = 7. mdn sınıfının tam frekansı.
i = 2. Sınıf aralığının büyüklüğü.
Şimdi değeri formüle koyma
Dağılımın Mdn'si 60.63'tür.
Mdn, dağılımın üst sınırından da hesaplanabilir. Mdn'yi üst limitleri alarak belirleyen formül bu şekildedir.
U = Mdn sınıfının üst sınırı.
F 1 = Mdn sınıfının üzerindeki sınıf aralığının kümülatif frekansı.
fm = Ortanca sınıfın sıklığı.
i = Sınıf aralığının boyutu.
Adımlar:
Mdn'nin üst sınırdan hesaplanması durumunda tek fark, üst uçtan kümülatif frekansı hesaplamamızdır.
İllüstrasyon:
U = 61, 5 Çünkü kümülatif frekans 23, N / 2 yani 20'yi içerir.
F = 16. Mdn sınıfının üzerindeki sınıf aralığının kümülatif frekansı.
fm = medyan sınıfın 7 frekansı.
i = 2
Mdn 60, 36'dır.
Bazı istisnai bilgi işlem medyanları da vardır. Bunlar, frekans dağılımı boşluklar içerdiğinde ve sınıf aralıkları açıkken sona erer. Öncelikle frekans dağılımında boşluklar olduğunda görüşeceğiz.
Mdn'nin bulunduğu sınıf aralıklarında art arda 0 frekans varken, Mdn sınıfını bulmak zorlaşır. Bu durumda 0 frekans aralığını yukarıdaki ve alt sınıf aralıklarına ekleriz.
Aşağıdaki çizim süreci açıkça açıklamaktadır:
İllüstrasyon:
Aşağıdaki serinin Mdn'lerini öğrenin:
L = 49, 5. Ci'nin N / 2'den büyük olduğu Ci'nin alt sınırı.
Mdn sınıfının altındaki Ci'nin F = 4 Cf'si
f m = 2. Mdn sınıfının frekansı.
i = 10. Ci'nin büyüklüğü
Değerleri formül 8.7'ye koymak.
Yani dağılımın Mdn'si 57'dir.
İkinci durum ise, her iki uçta da açık uçlu sınıf aralıklarının olması. Bu durumda açık uçlar açık tutulabilir veya belirli sınıflara dönüştürülebilir. Aşağıda bir örnek verilmiştir.
İllüstrasyon:
30 öğrenci matematik testinde aşağıdaki notları aldı. 4 öğrenci 10 puanın altına düştü. 6 öğrenci, 10 ila 20 arasında 10, 20 ila 30 arasında 10, 10 ila 30 arasında 40, 50 ila 50 arasında 7 ve 50 üzerinde 3 öğrenci aldı. Mdn.
L = 19.5 Mdn sınıfının alt sınırı, yani 20-30.
F = 10. Cd'nin Mdn sınıfının altındaki Cf'si.
fm = 10
i = 10
Yani dağılımın Mdn'si 28, 5'tir.
Medyanın Kullanım Alanları:
1. Medyan, dağılımın tam orta noktası gerekli olduğunda veya% 50 puan istendiğinde kullanılır.
2. Aşırı puanlar o zaman ortalamayı etkilediğinde medyan, merkezi eğilimin en iyi ölçüsüdür.
3. Ortanca, belirli puanların merkezi eğilimi etkilemesi gerektiğinde kullanılır, ancak bunlar hakkında bilinen tek şey ortancaların üstünde veya altında olmalarıdır.
4. Ortanca, sınıflar açık uçlu olduğunda veya eşit olmayan hücre büyüklüğünde olduğunda kullanılır.
Medyanın yararları:
1. Hesaplamak ve anlamak kolaydır.
2. Tüm gözlemlerin hesaplanması için gerekli değildir.
3. Aşırı puanlar ortanca etkilemez.
4. Açık uçlu seriden belirlenebilir.
5. Eşit olmayan sınıf aralıklarından belirlenebilir.
Medyan'ın Demerleri:
1. Ortalama gibi katı bir şekilde tanımlanmamıştır çünkü değeri hesaplanamamakta ancak bulunabilmektedir.
2. Tüm gözlemleri içermez.
3. Cebirsel olarak aynı şekilde ortalama muamele edilemez.
4. Puanların veya sınıf aralıklarının artan veya azalan düzende düzenlenmesini gerektirir.
5. Bazen seride bulunmayan bir değer üretir.
(3) Mod:
Mod, dağılımda en sık karşılaşılan puanlardır. Ortalama olarak, var olan öğelerle neredeyse çakışan bir dizinin en tipik değerini temsil eder. Asla aşırı puanlardan değil, değerlerin aşırı sıklıklarından etkilenmez. Modu belirlemek için farklı yöntemler vardır.
Önemli yöntemlerden bazıları aşağıda tartışılmaktadır:
Modu belirleme yöntemleri:
1. Muayene Yöntemi
2. Gruplandırma Yöntemi
3. Ampirik İlişki Yöntemi
1. Muayene Yöntemi:
Bu yöntemde sadece gözlemle belirlenir. Burada mod, en sık görülen skoru veya maksimum frekansın durduğu modal sınıf olarak alındığı sınıf aralığını gözlemleyerek belirlenir. Bu gibi iki değer veya sınıf aralığı aynı oluşum veya sıklığa sahip olduğunda, hem puanlar hem de sınıf aralıkları mod olarak alınır. ' Ve dağıtım iki modlu bir dağıtım olarak adlandırılır. Eğer ikiden fazla değer ya da sınıf aralığı varsa, o zaman çok modlu bir dağılım olarak birleştirilir.
2. Gruplandırma Yöntemi:
En yüksek frekans ile bir sonraki en yüksek frekans arasındaki değer farkı o zaman çok düşük olduğunda, inceleme yönteminde modu belirlemek güvenli değildir. Bu tür şüpheli durumlarda, gruplandırma yöntemi kullanılmıştır.
Bu yöntemde ilk önce bir gruplandırma tablosu veya frekansları gruplandırma ifadesi hazırlanır. Bu ifadede sol sütundaki değerleri veya değer sınıflarını ve sonraki sütundaki karşılık gelen frekanslarını koyun. Bir sonraki sütunda (2), ilk frekanstan başlayarak ikişer frekansları gruplandırınız. Ardından, üçüncü sütun grubunda, ikinci frekanstan başlayarak ikişerli frekanslar. Bir sonraki sütun grubunda, üçlü frekanslar, 1. frekanstan başlayan frekanslar.
Bir sonraki sütun grubunda, 2. frekanstan başlayarak üçlü frekanslar. Son sütun grubunda, üçlü frekansların 3. frekanstan başlaması. Gruplama sona erdiğinde, bir daireye koyarak 6 sütunun her birinin maksimum rakamlarını tanımlayın.
Sonraki adım, modal değeri veya modal sınıfı bulmak için bir analiz tablosu hazırlamaktır. Bu tabloda, muhtemel modal değerler, farklı sütunların altındaki üst yatay çizgide gösterilmekte ve farklı sütun numaraları tablonun sol tarafına yerleştirilecektir.
Gruplandırma tablosundaki maksimum gruplanmış frekansları gösteren değerler ilgili sütununa göre bir işaret ile tanımlanacaktır. Olası değer sütunlarının altına konan bu işaretlerin sayısı bu tablonun en altında toplanacaktır. Bu toplamın maksimumunu gösteren muhtemel değer, modda olduğu gibi modal sınıfın modal değeri olarak tanımlanacaktır.
Aşağıdaki çizim daha iyi bir anlayış sağlayacaktır:
İllüstrasyon:
Yukarıdaki analiz tablosu, puan 60 civarında, maksimum küme, yani toplam 4 olduğunu göstermektedir. Yani burada 60, modal değerdir.
Veriler sürekli serideyse, aşağıdaki formülü uygulayarak modu hesaplayabiliriz:
M 0 = Modu nerede
L 0 = Kalıcı sınıfın alt sınırı
f 2 = Müteakip modal sınıfın sınıfı.
f 0 = modal sınıftan önceki sınıfın frekansı.
i = Sınıf aralığının boyutu.
İllüstrasyon:
Aşağıdaki verilerden modu belirleyin:
Çözüm:
Burada 20-25 arasındaki sınıf aralığı en yüksek frekansı içerir. Böylece modal sınıf olarak kabul edilebilir.
İşte:
3. Ampirik İlişki Yöntemi:
Bu mod belirleme en etkili yöntemdir. Prof Karl Karl bu yöntemi öngörmüştür. Prof Pearson, orta derecede asimetrik veya çarpık serilerde ortalama, medyan ve mod arasında uygun bir ilişki olduğunu bulmuştur. Bu tür serilerde, ortalama ile Medyan arasındaki mesafe, ortalama ile mod arasındaki mesafenin 1 / 3'üdür.
İllüstrasyon:
Yukarıda verilen dağılımlardan gelen Modu öğrenin.
Çözüm:
Dağılımın ortalaması 25.94
Dağılımın ortanca değeri 23, 83'tür.
M 0 = 3 Ortanca — 2 ortalama
M 0 = 3 X 23, 83 - 2, 2 x 25, 94
= 71.49-51.88
= 19.61 (Yaklaşık)
Modun Kullanımı:
Mod kullanılır:
(i) Hızlı ve yaklaşık bir merkezi eğilim ölçüsü istediğimizde.
(ii) Tipik bir değer olması gereken bir merkezi eğilim ölçüsü istediğimizde. Örneğin, Hintli kadınların tipik kıyafet tarzlarını, yani en popüler kıyafet tarzlarını bilmek istediğimizde. Bunun gibi bir sınıfın ortalama notlarına modal marka denir.
Modun Değerleri:
1. Mod, bir serinin en temsili değerini verir.
2. Mod, ortalama gibi aşırı puanlardan etkilenmez.
3. Açık uçlu bir sınıf aralığından belirlenebilir.
4. Nitel verilerin analizinde yardımcı olur.
5. Mod, histogram veya frekans poligonu vasıtasıyla grafiksel olarak da belirlenebilir.
6. Mod anlamak kolaydır.
demerits:
1. Mod, ortalama gibi katı bir şekilde tanımlanmamıştır. Bazı durumlarda farklı sonuçlarla ortaya çıkabilir.
2. Bir dağılımın tüm gözlemlerini içermez, fakat öğelerin frekanslarının konsantrasyonunu içerir.
3. Daha fazla cebirsel işlem, mod benzeri ortalama ile yapılamaz.
4. Çok modlu ve iki modlu durumlarda tespit etmek zordur.
5. Mod eşit olmayan sınıf aralıklarından belirlenemez.
6. Farklı mod sonuçları veren farklı yöntemler ve farklı formüller vardır ve bu nedenle haklı olarak en kötü tanımlanmış ortalama olarak kabul edilir.
