Normal Olasılık Eğrisi: Hesaplama, Karakteristikleri ve Uygulamaları

İstatistiklerde normal olasılık eğrisinin hesaplanması, özellikleri ve uygulamaları hakkında bilgi edinmek için bu makaleyi okuyun.

Normal Olasılık Eğrisinin Hesabı:

Bir jeton yansız atılırsa, baş (H) veya kuyruk (T) düşecektir. Bu, bir kafa ortaya çıkma olasılığı ikide bir şanstır. Yani H olasılık oranı ½ ve T ½ 'dir.

Aynı şekilde, iki jeton atacağız, jeton x ve jeton y, düşmenin dört olası yolu vardır.

Böylece dört olası yol, hem x hem de y H düşebilir, x T düşebilir ve y H, x H ve yT düşebilir veya her ikisi de T düşebilir.

Oranlarda ifade edilir

İki kafanın olasılığı = ¼

İki kuyruk olasılığı = ¼

Bir H ve bir T olasılığı; =

Bir T ve bir H olasılığı: ¼

Dolayısıyla, oran ¼ + ½ + ¼ = 1.00

İki madalyonun kafa ve kuyruklarının beklenen görünümü şöyle ifade edilebilir:

(H + T) ² = H2 + 2HT + T2

Madeni para sayısını üçe, yani x, y ve Z'ye çıkaracaksak, sekiz olası düzenleme olabilir.

Yazı turalarının ve yazı kuyruklarının beklenen görünümü şöyle ifade edilebilir:

Bu şekilde, herhangi bir sayıda jetonun farklı kafa ve kuyruk kombinasyonlarının olasılığını belirleyebiliriz. Binom genişlemesi ile herhangi bir sayıda madeni para olasılığını bulabiliriz. İki terim içeren bir ifadeye binom ifadesi denir. Binom teoremi, bir binom ifadesinin gücünü bir dizi şeklinde genişleten bir cebirsel formüldür.

Formül şöyle okur:

(H + T) ⁿ = C (n, 0) ^Hn + C (n, 1) ^Hn- 1T + C (n, 2) H ^{( n-2)} T2….

… + C (n, r) H ^nr T ^r +…. + C (n, n) Tn… (11.1)

Burada C = Muhtemel kombinasyonlar.

C (n, r) = n! / R! (n - r)!

n! 1 x 2 x 3 x… anlamına gelir. xn

n = Toplam gözlem veya kişi sayısı.

r = Bir kerede yapılan gözlem veya kişi sayısı.

Böylece binom genişlemesi

Yukarıdaki veriler grafik üzerinde ve histogram ve frekans poligonu olarak çizilirse, aşağıdaki gibi olacaktır (Şekil 11.1).

Bu nedenle, 10 jetonlu (H + T) ^10'dan elde ettiğimiz rakam simetrik bir çok taraflı poligondur.

Ve eğer madeni para sayısını arttırmaya devam edersek, her artışta poligon tam olarak pürüzsüz bir yüzey çizgisi sergileyecektir:

Bu çan şeklindeki eğri 'Normal Olasılık Eğrisi' olarak adlandırılır. Bu nedenle “normal dağılımın olasılık yoğunluğu fonksiyonunun grafiği sürekli bir çan şeklindeki eğridir, ortalamanın etrafında simetrik” normal olasılık eğrisi olarak adlandırılır.

İstatistiklerde önemlidir çünkü:

(а) 8. sınıf öğrencilerinin istihbaratları, 10. sınıf öğrencilerinin boyu vb. gibi doğal olarak ortaya çıkan değişkenlerin dağılımı.

(b) Çoğu ana popülasyondan alınan numune araçlarının dağılımı, örnekler yeterince büyük olduğunda normal veya yaklaşık olarak normaldir.

Dolayısıyla normal eğrinin sosyal bilimlerde ve davranış bilimlerinde büyük önemi vardır. Davranışsal ölçümde, özelliklerin çoğu normal dağılıma yaklaşmaktadır. Böylece Normal Olasılık Eğrisi veya en popüler olarak NPC olarak bilinen referans eğrisi olarak kullanılır. NPC'nin faydasını anlamak için NPC'nin özelliklerini anlamamız gerekir.

Normal Olasılık Eğrisinin Özellikleri:

Normal olasılık eğrisinin ana özelliklerinden bazıları şunlardır:

1. Eğri iki taraflı simetriktir.

Eğri, eğrinin merkez noktasındaki koordinatına simetriktir. Bu, eğrinin bir tarafındaki eğrinin büyüklüğü, şekli ve eğiminin, eğrinin diğer tarafıyla aynı olduğu anlamına gelir. Eğri ikiye bölünmüşse, sağ tarafı tamamen sol tarafıyla eşleşir.

2. Eğri asimptotiktir:

Normal Olasılık Eğrisi yatay eksene yaklaşır ve-∞ ila + ∞ arasında uzanır. Eğrinin uç noktalarının taban çizgisine dokunma eğiliminde olduğu, ancak hiçbir zaman ona dokunmadığı anlamına gelir.

Aşağıda verilen şekil (11.3) 'de gösterilmiştir:

3. Ortalama, Medyan ve Mod:

Ortalama, Medyan ve kip orta noktaya düşer ve sayısal olarak eşittir.

4. Bükülme noktaları ± 1 Standart sapma biriminde oluşur:

Bir NPC'deki akma noktaları, ortalamanın üstünde ve altında birime ± 1σ'da meydana gelir. Böylece bu noktada eğri, yatay eksene göre dışbükeyden içbükeye değişir.

5. NPC'nin toplam alanı ± standart sapmalara bölünmüştür:

NPC toplamı altı standart sapma birimine bölünmüştür. Merkezden üç + ve 'standart sapma ünitesine ve üç-ve' standart sapma ünitesine ayrılmıştır.

Dolayısıyla, NPC'nin ± 3σ'si ayrı ayrı farklı vaka sayısını içerir. ± 1σ arasında orta 2 / 3. vakalar veya% 68.26, ± 2σ arasında% 95.44 yalan ve ± 3σ arasında% 99.73 vaka ve + 3σ arasında sadece% 0.37 düşüş olur.

6. Y koordinatı Normal Olasılık Eğrisinin yüksekliğini temsil eder:

NPC'nin Y koordinatı, eğrinin yüksekliğini temsil eder. Merkezde maksimum koordinat meydana gelir. Orta veya orta noktadaki eğrinin yüksekliği Y ₀ olarak gösterilir.

Herhangi bir noktada eğrinin yüksekliğini belirlemek için aşağıdaki formülü kullanıyoruz:

7. Unimodal:

Eğri sadece bir tepe noktasına sahip. Çünkü maksimum frekans sadece bir noktada meydana gelir.

8. Eğrinin yüksekliği simetrik olarak azalır:

Eğrinin yüksekliği, merkez noktadan simetrik olarak her iki yöne de düşer. Ortalamadan uzaklık eşitse M + σ ve M - σ değerlerinin eşit olduğu anlamına gelir.

9. NPC ortalaması is ve standart sapma σ:

NPC ortalaması, popülasyon ortalamasını temsil ettiğinden, µ (Meu) ile temsil edilir. Eğrinin standart sapması Yunanca Harf σ ile temsil edilir.

10. Normal Olasılık Eğrisinde Standart sapma Q değerinden% 50 daha büyüktür:

NPC'de Q genellikle olası hata veya PE olarak adlandırılır.

PE ile a arasındaki ilişki şu şekilde ifade edilebilir:

1 PE = .6745σ

1σ = 1.4826PE.

11. Q, belirli bir kısımdaki alanın belirlenmesinde ölçüm birimi olarak kullanılabilir:

12. NPC ortalaması ile ilgili Ortalama Sapma, .798σ:

Bir NPC'de standart sapma ile ortalama sapma arasında sabit bir ilişki vardır.

13. Model koordinatı, standart sapmaya göre artan bir şekilde değişmektedir:

Normal Olasılık eğrisinde modal ordinat, standart sapmaya göre artan şekilde değişir. Normal Olasılık Eğrisinin standart sapması artar, modal koordinat azalır ve bunun tersi de geçerlidir.

Normal Olasılık Eğrisi Uygulamaları:

Normal olasılık eğrisinin en önemli uygulamalarından bazıları şunlardır:

Normal Olasılık Eğrisi prensipleri davranış bilimlerinde birçok farklı alanda uygulanmaktadır.

1. NPC, belirli bir dağılım dahilinde normal dağılımdaki vakaların yüzdesini belirlemek için kullanılır:

Normal Olasılık Eğrisi, şunları belirlememize yardımcı olur:

ben. Vakaların yüzde kaçında bir dağılım iki puan arasında kalmaktadır.

ii. Skorların yüzde kaçı dağılımın belirli bir skorunun üzerinde.

iii. Sayıların yüzde kaçı dağılımın belirli bir puanının altındadır.

Örnek:

Ortalamalar 24 ve σ 8 olan puanların dağılımı göz önüne alındığında, normallik olduğu varsayıldığında vakaların yüzde kaçının 16 ile 32 arasında olacağı varsayılmaktadır.

Çözüm:

Öncelikle, hem 16 hem 32 puanları standart bir puana dönüştürmeliyiz.

Tablo-A'ya girildiğinde, NPC altındaki tablo alanı 34.13 vakanın ortalama ile - 1σ arasında ve 34.13 vakanın ortalama ile + 1σ arasında olduğu tespit edildi. Yani ± σ vakaların% 68, 26'sını kapsar. Böylece% 68, 25 vaka 16 ile 32 arasında olacak.

Örnek:

Ortalama 40 ve σ 8 olan puanların dağılımı göz önüne alındığında, normallik varsayımı, vakaların yüzde kaçının puanın üstünde ve altında olacağı varsayılmaktadır 36.

Çözüm:

Her şeyden önce ham skoru 36 standart puana dönüştürmeliyiz.

Tablo-A'ya girildiğinde, NPC altındaki tablo alanının% 19, 15 vakaların Ortalama ve -.5σ arasında olduğu tespit edildi. Bu nedenle, 36 puanın üzerindeki olguların toplam yüzdesi 50 + 19, 15 =% 69, 15 ve 36 puanın altındaki vakaların oranı 50-19, 15 =% 30, 85'dir. Yani dağılımda% 69, 15 vaka 36 puanın üstünde ve% 30, 85 puan 36 puanın altındadır.

2. NPC yüzdelik sıralaması verilen bir puanın değerini belirlemek için kullanılır:

NPC tablosunu kullanarak, yüzdelik sırası verilirse bireyin ham puanını belirleyebiliriz.

Örnek:

Bir düşüş puanlarının dağılımında istatistiki olarak Pinky'nin yüzdelik sıralaması 65'tir. Dağılımın ortalaması 55'tir. 10'luk standart sapma ile Pinky'nin istatistiki puanını bulun.

Çözüm:

Pinky'nin yüzdelik sırası 65 olduğundan normal dağılımda konumu ortalamanın% 35'in üzerindedir. 'A' tablosuna girerek, ortalamadan% 35'inin + 1.04 σ olduğunu bulduk.

Değeri 'Z' puanına koyarak.

3. NPC, belirli bir vaka yüzdesini içeren normal dağılımdaki limitleri bulmak için kullanılır:

Bir dağılım normal olarak dağıtıldığında ve dağılım hakkında bildiklerimiz NPC altındaki tablo alanını kullanarak o sırada Ortalama ve Standart sapma olduğunda, belirli bir vaka yüzdesini içeren limitleri belirleyebiliriz.

Örnek:

Ortalama 20 ve σ ile bir puan dağılımı göz önüne alındığında, eğer normallik varsayarsak hangi sınırlar vakaların% 75'ini içerecektir.

Çözüm:

Normal dağılımda orta% 75 vaka ortalamanın üzerinde% 37, 5 ve ortalamanın altında% 37, 5 oranındadır. Tablo-A'dan şunu söyleyebiliriz:% 37, 5 olgunun 1.15 σ birimini kapsadığı. Bu nedenle ortadaki% 75 vaka ortalama ve ± 1.15 σ birimleri arasındadır.

Yani bu dağılımın ortasında% 75 vakalar 14.25 ila 25.75 arasındaki limitleri içerecektir.

4. İki dağılımın örtüşme açısından karşılaştırılmasında kullanılır:

Belirli bir değişkende iki grubun skorları normal dağılmışsa. Grup hakkında bildiğimiz şey, her iki grubun ortalama ve standart sapmasıdır. Ve ilk grubun ikinci gruba ne kadar aşdığını veya o sırada bunun tam tersini bilmek istiyoruz, bunu NPC altındaki tablo alanını kullanarak belirleyebiliriz.

5. NPC, belirli bir yeteneğe göre bir grubu alt gruplara bölmemize ve notları tayin etmemize yardımcı olur:

Büyük bir grubu, belirli bir yeteneğe göre belirli alt gruplara bölmek istediğimizde, bir NPC'nin standart sapma birimlerini ölçek birimi olarak kullanırız.

Örnek:

600 8. sınıf öğrencisine başarı testi uygulanmıştır. Öğretmen bu öğrencileri sınavdaki performanslarına göre A, B, C ve D olmak üzere 4 sınıfa atamak istiyor. Skor dağılımının normalliğini varsayarsak, her gruba yerleştirilebilecek öğrenci sayısını hesaplar.

Çözüm:

Bir NPC altındaki alan ± 3σ birime veya 6σ birime ayrılmıştır.

Burada öğrencileri 4 bölüme ayırmak zorundayız.

Yani her bölüm var

Öyleyse kesiti liyakat sırasına göre dağıtacağız.

A bölümü 1.5σ ile 3σ arasında olacaktır.

Bölüm B, Ortalama 1.5σ’da olacak

C Kısmı Ortalama içinde –1.5σ olacak

ve Bölüm D ise –1.5σ ile - 3σ arasında olacaktır.

6. NPC, test maddelerinin veya problemlerinin göreceli zorluğunu belirlemeye yardımcı olur:

Öğrencilerin yüzde kaçının bir problemi başarıyla çözdüğü biliniyorsa, NPC altındaki tablo alanını kullanarak madde veya problemin zorluk seviyesini belirleyebiliriz.

7. NPC, bir frekans dağılımını normalleştirmek için kullanışlıdır:

Bir frekans dağılımını normalleştirmek için Normal Olasılık Eğrisi'ni kullanırız. Psikolojik bir testi standartlaştırma süreci için bu süreç çok gereklidir.

8. NPC kullandığımız deney gözlemlerinin önemini test etmek için:

Bir deneyde değişkenler arasındaki ilişkiyi, bunların şans dalgalanmalarından mı yoksa örnekleme prosedürünün hatalarından mı kaynaklandığını veya gerçek bir ilişki olup olmadığını test ediyoruz. Bu NPC altındaki tablo alanı yardımı ile yapılır.

9. NPC, örneklemdeki popülasyon hakkında genelleme yapmak için kullanılır:

Standart ortalama hata, standart sapma standart hatası ve numunenin alındığı popülasyon hakkında genelleme yapmak için diğer istatistikleri hesaplıyoruz. Bu hesaplama için NPC altındaki tablo alanını kullanıyoruz.