Olasılık: Anlam, Kavram ve Önemi
Bu makaleyi okuduktan sonra öğreneceksiniz: - 1. Olasılığın Anlamı 2. Olasılık Kavramı Üzerine Farklı Düşünce Okulları 3. Önemli Terminoloji 4. Önemi 5. İlkeler.
Olasılığın Anlamı:
Gündelik hayatımızda “olasılık” veya “şans” çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Bazen, “Muhtemelen yarın yağmur yağabilir”, “Muhtemelen Bay X bugün dersine girebilir”, “Muhtemelen haklısın” deriz. Bütün bu terimler, olasılık ve olasılık aynı anlamı taşır. Ancak istatistiklerde olasılık, Layman’ın görüşünden farklı olarak bazı özel çağrışımlara sahiptir.
Olasılık teorisi 17. yüzyılda geliştirilmiştir. Oyunlarından, paralarını fırlatıp bir zar atıp bir paketten bir kart çekerek kaynağını almıştır. 1954'te Antoine Gornband bu alan için bir girişim ve ilgi gördü.
Ondan sonra istatistiklerdeki birçok yazar, eski tarafından verilen fikri yeniden şekillendirmeye çalıştı. “Olasılık”, istatistiklerin temel araçlarından biri haline geldi. Bazen istatistiksel analiz, olasılık teoremi olmadan felç olur. “Belirli bir olayın olasılığı, benzer bir olaydaki olayların meydana gelmesi beklenen sıklık olarak tanımlanır” (Garrett)
Olasılık teorisi, sıfır ile bir arasında değişen nicel önlemler açısından rastgele bir denemeden kaynaklanan farklı olayların meydana gelme olasılığı hakkında bir fikir edinmenin bir yolunu sunar. Olasılık imkansız bir olay için sıfır, gerçekleşmesi kesin olan bir olay için birdir.
Örnek:
Gökyüzünün düşmesi ihtimali 0, 00.
Şimdi yaşayan bir birey bir gün ölecek 1, 00.
Bir oyun kartı çizme örneği ile olasılığın anlamını açıklayalım. Bir pakette 4 çeşit kart vardır ve bu kartlar rastgele karıştırılırsa, kürek çekme olasılığı 13/52 = 1 / 4'tür. Tarafsız bir bozuk para atılırsa, Başın (H) ortaya çıkma olasılığı 1 / 2'dir.
Oran Olarak Olasılık:
Matematiksel olarak ifade edilen veya ifade edilen bir olayın olasılığı, oran olarak adlandırılır. Tarafsız bir madalyonun olasılığı, düşme başı 1 / 2'dir ve iki noktalı bir zar gösterme olasılığı 1/6'dır. Olasılık oranları adı verilen bu oranlar, payları istenen sonucu veya sonuçları eşitleyen ve paydasının toplam olası sonuçlara eşit olduğu kesir ile tanımlanır.
Daha basit bir ifadeyle, 6 yüzlü (örneğin 4 nokta) herhangi bir yüzün görünme olasılığı 1/6 veya
Olasılık = istenen sonuç / toplam sonuç sayısı
Bu nedenle, olasılık, 0 ile 1 arasında değişen bir sayı veya orandır. Oluşmayan bir olay için sıfır, bir olay için 1 olacağı kesindir.
Olasılık Kavramı Üzerine Farklı Düşünce Okulları:
Olasılık kavramı üzerinde farklı düşünce okulları vardır:
1. Klasik Olasılık:
Olasılığa klasik yaklaşım, en eski ve en basit düşünce okulundan biridir. Bozuk para atma, zar atma, kart çekme vb. Şans oyunlarına ilişkin olasılığı açıklayan 18. yüzyılda ortaya çıkmıştır.
Olasılığın tanımı “Laplace” adlı bir Fransız matematikçi tarafından verildi. Ona göre olasılık, olası dava sayısının eşit muhtemel dava sayısındaki oranıdır.
Başka bir deyişle, klasik yaklaşımla önerilen oran:
Pr. = Olumlu dava sayısı / Eşit muhtemel dava sayısı
Örneğin, bir bozuk para atılırsa ve kafanın oluşma ihtimalinin ne olduğu sorulursa, o zaman uygun durumun sayısı = 1, eşit derecede muhtemel durumların sayısı = 2'dir.
Pr. kafa = 1/2
Sembolik olarak şu şekilde ifade edilebilir:
P = Pr. (A) = a / n, q = Pr. (B) veya (A değil) = b / n
1 - a / n = b / n = (veya) a + b = 1 ve ayrıca p + q = 1
p = 1 - q ve q = 1 - p ve eğer a + b = 1 ise o zaman a / n + b / n = 1
Bu yaklaşımda olasılık, 0 ila 1 arasında değişir. Olasılık sıfır olduğunda, gerçekleşmesinin imkansız olduğunu gösterir.
Olasılık 1 ise, oluşma kesinliği vardır, yani olayın gerçekleşmesi zorunludur.
Örnek:
20 siyah ve 25 beyaz top içeren bir çantadan, top rasgele olarak çekilir. Siyah olma olasılığı nedir?
Pr. siyah bir topun = 20/45 = 4/9 = p, 25 Pr. beyaz bir top = 25/45 = 5/9 = q
p = 4/9 ve q = 5/9 (p + q = 4/9 + 5/9 = 1)
demerits:
(1) Klasik yaklaşım sadece madeni para, zar, kart vb. İle sınırlıdır;
(2) Bu, belli durumlarda gerçek sonucu açıklamayabilir;
(3) Eşit derecede muhtemel davaların sayısı daha fazlaysa, olasılık oranının değerlerini bulmak zordur ve
(4) Eşit derecede muhtemel vakaların sayısı 00 ise, bu yaklaşım yetersizdir.
2. Göreceli Frekans Olasılık Teorisi:
Olasılığa bu yaklaşım, klasik yaklaşıma karşı bir protestodur. Eğer n, ∞'a yükseltilirse, p veya q olasılığını bulabileceğimizi belirtir.
Örnek:
N, ∞ ise, Pr. A = a / n = .5, Pr. B = b / n = 5
Bir olay n dışında bir zaman meydana gelirse, göreceli frekansı a / n'dir. N ∞ olduğunda, bağıl frekansın limiti denir.
Pr. (A) = a / n sınırla
nerede n → ∞
Pr. (B) = limit bl.t. burada → ∞.
Benzer veya başka doğadaki nesneler arasında iki tür nesne varsa, o zaman bir nesnenin olasılığı, yani Pr. A = .5, ardından Pr. B = 5
demerits:
1. Bu yaklaşım otantik ve bilimsel bir yaklaşım değildir.
2. Bu olasılık yaklaşımı tanımlanmamış bir kavramdır.
3. İşletme ve ekonomi alanında uygulanmakla birlikte bu olasılık yaklaşımı hala güvenilir bir yaklaşım değildir.
Olasılıkta Önemli Terminoloji:
1. Karşılıklı Özel Etkinlikler:
Olayların, eşzamanlı olarak meydana gelmedikleri zaman karşılıklı olarak dışlandığı söylenir. Olaylar arasında, bir olay bir denemede mevcut kalırsa, diğer olaylar görünmeyecektir. Başka bir deyişle, birinin oluşumu diğerlerinin oluşumunu engeller.
Örneğin:
Eğer bir kız güzelse çirkin olamaz. Bir top beyazsa, kırmızı olamaz. Ölü ve diri gibi başka olaylar alırsak, bir kişinin bir anda diri veya diri olabileceği söylenebilir.
Fakat yalan aynı anda hem hayatta hem de ölü olamaz. Bir bozuk para atılırsa, kafa görünecek veya kuyruk görünecektir. Ancak her ikisi de aynı anda görünemez. Bir madeni para atmada, baş ve kuyruk oluşumunun birbirini dışlayan olaylar altında gerçekleştiği anlamına gelir.
Sembolik olarak 'A' ve 'B' olayları birbirini dışlayansa, olayların olasılığı P (A) veya P (B) cinsinden tahmin edilebilir. Karşılıklı özel olaylarda P (AB) = 0.
2. Bağımsız ve Bağımlı Olaylar:
Bir denemenin gerçekleşmesi diğerini etkilemediğinde iki veya daha fazla olayın bağımsız olduğu söylenir. Duruşmanın birer birer yapılması durumunda, bir denemenin diğer denemeden etkilenmediği belirtilmektedir. Ve ayrıca bir deneme, diğer davalarla ilgili hiçbir şeyi asla tarif etmez.
Örnek:
Bozuk para atmadaki olaylar bağımsız olaylardır. Bir jeton birer birer atılırsa, bir deneme diğerinden etkilenmez. Bir denemede, baş veya kuyruk, ikinci denemede hangi olayın geleceğini hiçbir zaman tarif etmeyen konik olabilir. Böylece, ikinci deneme, ilk deneme ile tamamen bağımsızdır.
Bağımlı olaylar, bir denemede bir olayın meydana gelip oluşmamasının diğer denemelerin oluşumunu etkileyebileceği olaylardır. Burada olaylar karşılıklı olarak birbirine bağlı.
Örnek:
Bir oyun kartının bir kartından bir kart çekilir ve değiştirilmezse, 2. denemede olasılık değişecektir.
3. Eşit Olası Olaylar:
Olayların eşit olarak meydana gelme şansı olduğunda eşit derecede muhtemel olduğu söylenir. Bir olay diğer olaylar gibi gerçekleşmediyse, olaylar eşit olarak muhtemel sayılmaz. Başka bir deyişle, bir olay diğerlerinden daha sık meydana gelmediğinde olayların eşit derecede muhtemel olduğu söylenir.
Örnek:
Tarafsız bir madeni para veya zar atılırsa, her yüzün gerçekleşmesi beklenenler uzun vadede eşit sayılardır. Başka bir örnekte, bir oyun kartı paketinde, her bir kartın eşit görünmesini bekliyoruz. Bir madeni para veya zar önyargılıysa, her yüzün eşit görünmesi beklenmez.
4. Basit ve Birleşik Etkinlikler:
Basit olaylar Basit olaylarda, basit olayların olup olmadığına dair olasılıkları düşünüyoruz. Bozuk parayı her atışımızda, baş ve kuyruk olaylarının oluşumunu düşünüyoruz. Başka bir örnekte, bir torbada 10 beyaz top ve 6 kırmızı top varsa ve ne zaman kırmızı top çizme olasılığını bulmaya çalışıyorsak, basit olaylara dahil edilir.
Bileşik olaylar:
Ancak diğer yandan iki veya daha fazla olayın ortak oluşumunu göz önüne aldığımızda, bileşik olaylar olur. Buradaki basit olayların aksine, birden fazla olay dikkate alınmaktadır.
Örneğin:
Bir torbada 10 beyaz ve 6 kırmızı top varsa ve arka arkaya 3 top çekilirse ve 3 topun beyaz top olma olasılığını bulmaya çalışırken. Bu örnek olayların ikiden fazla olay durumunda göz önüne alındığını belirtir.
Olasılığın Önemi:
Olasılık kavramı günlük yaşamda çok önemlidir. İstatistiksel analiz bu değerli konsepte dayanmaktadır. Aslında modern bilimde olasılıkın oynadığı rol kesinliğin yerine geçiyor.
Aşağıdaki tartışma daha da açıklar:
ben. Olasılık teorisi tahmin yapmak için çok faydalıdır. Tahminler ve tahminler, araştırma soruşturmasının önemli bir bölümünü oluşturur. İstatistiksel yöntemlerin yardımıyla, ileri analizler için tahminler yaparız. Dolayısıyla, istatistiksel yöntemler büyük ölçüde olasılık teorisine bağlıdır.
ii. Ayrıca karar vermede büyük öneme sahiptir.
iii. Her türlü kazaların planlanması ve kontrol edilmesiyle ilgilidir.
iv. Belirsizliği içeren her türlü resmi çalışma için ayrılmaz araçlardan biridir.
v. Olasılık kavramı, tüm bilimsel araştırmalara ve günlük hayata uygulanmak yerine, sadece ticari ve ticari alanlarda uygulanmaz.
vi. İstatistiksel karar prosedürlerini bilmeden önce, olasılık teorisi hakkında bir şey bilmek zorundadır.
vii. Normal Olasılığın özellikleri. Eğri, olasılık teorisine dayanır.
Normal Dağılım, aşağıdaki nedenlerden dolayı istatistiki verilerden çıkarımlar çizmek için en çok kullanılan dağıtımdır:
1. Normal dağılımın iyi bir uyum sağladığını veya birçok değişken ve olgunun meydana gelme sıklığını tanımlamak için kanıtlar toplanır (i) biyolojik istatistiklerde, örneğin birkaç yıldaki bir ülkedeki doğumlarda cinsiyet oranı, (ii). antropometrik veriler, örneğin, yükseklik, ağırlık, (iii) karşılaştırılabilir koşullar altında aynı meslekte çok sayıda işçinin ücreti ve çıktısı, (iv) psikolojik ölçümler, örneğin zeka, reaksiyon süresi, ayarlama, kaygı ve (v) Fizik'teki gözlemlerin hataları, Kimya ve diğer Fiziksel Bilimler.
2. Normal dağılım, zihinsel ölçümden yararlanırken hem psikoloji hem de eğitim alanındaki değerlendirme ve araştırmalarda büyük öneme sahiptir. Normal dağılımın, herhangi bir yetenek testi veya akademik başarı testi için puanların gerçek bir dağılımı olmadığı, bunun yerine matematiksel bir model olduğu not edilebilir.
Test puanlarının dağılımı teorik normal dağılıma bir sınır olarak yaklaşır, ancak uyum nadiren ideal ve mükemmeldir.
Olasılık ve Normal Olasılık Eğrisi İlkeleri:
Tarafsız bir bozuk para attığımızda kafa düşebilir veya kuyruk düşebilir. Bu nedenle, düşme kafasının olasılığı% 50 veya 1/2 ve düşme kuyruğu da% 50 veya 1/2'dir. İki yansız bozuk para atarsak, HH (iki kafa) HT (1. jeton başı ve 2. jeton kuyruğu), TH (1. jeton kuyruğu ve 2. jeton başı) veya TT (iki kuyruk) gibi çeşitli şekillerde düşebilirler.
Öyleyse, aynı anda (a) ve (b) iki jeton atarsak, dört olası düzenleme vardır:
İki madeni paramız var (H + T) 2 ; ve kare, binom (H + T) 2 = H2 + 2HT + T2'dir.
2 kafanın 4'ünde 1 H 2 1 şans; olasılık oranı = 1/4
1 kafa ve 1 kuyruktan 4'ünde 2 HT2 şansı; olasılık oranı = 1/2
1 T 2 2 kuyruktan 4'ünde 1 şans; olasılık oranı = 1/4
Toplam = 4
Aynı anda üç jeton (a), (b) ve (c) 'yi atarsak, 8 olası sonuç vardır:
Oranlar olarak ifade edilirse, üç başın olasılığı 1/8'dir (kombinasyon 1); iki kafa ve bir kuyruk 3/8 (kombinasyon 2, 3 ve 4); bir kafa ve iki kuyruk 3/8 (kombinasyon 5, 6 ve 7); ve üç kuyruk 1/8 (kombinasyon 8). Bu olasılık oranlarının toplamı 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 veya 1.00'dir.
Çalışan üç bağımsız faktörümüz varsa, (p + q) n ifadesi üç jeton (H + T) 3 olur . Bu binom genişletildiğinde, yazılabilecek olan H3 + 3H 2 T + 3HT 2 + T 3'ü alıyoruz,
1 H3 3 kafanın 8'inde 1 şans; olasılık oranı = 1/8
3 H 2 T 2 kafanın 8'inde ve 1 kuyrukta 3 şans; olasılık oranı = 3/8
3 HT 2 1 kafanın 8'i ve 2 kuyrukta şans; olasılık oranı = 3/8
1 T 3 3 kuyruktan 8'inde 1 şans; olasılık oranı Toplam = 1/8
Benzer şekilde, 10 jeton atarsak ve 10 yerine n yerine koyarsak, binom genişlemesi olacaktır.
(H + T) 10 = H10 + 10H9T + 45H8T2 + 120H7T3 + 210H6T4 + 252H5T5 + 210H4T6 + 120H3T7 + 45H2T 8 + 10HT9 + T10.
Genişleme on bir kombinasyona sahiptir ve her bir kombinasyonun toplam olası oluşum dışında oluşma şansı her kombinasyonun katsayısı ile ifade edilir.
X ekseni boyunca genişlemenin yukarıdaki on bir terimini eşit mesafelerde temsil edebiliriz:
Her H ve T kombinasyonunun oluşma şansını Y ekseni boyunca frekans olarak temsil edebiliriz. Bütün bu noktaları çizip birleştirirsek simetrik bir frekans poligonu elde ederiz.
Binomda (H + T) n'de n'nin değeri oldukça büyükse (sonsuzluk demek) grafikte çok sayıda noktaya sahip oluruz ve onlara katılarak mükemmel şekilde düzleştirilmiş bir simetrik eğri elde ederiz. Böyle yumuşak ve simetrik bir eğri “normal olasılık eğrisi” olarak bilinir.
Bir matematik başarı testinde 150 sınıf IX öğrencisini inceledikten sonra bir öğretmenin elde ettiği frekans dağılımına dikkatlice bakın (bkz. Tablo 6.1):
Yukarıdaki tablonun 3. sütununda gösterilen frekanslarda bazı özel eğilimler bulabiliyor musunuz? Muhtemelen evet! Maksimum frekansın konsantrasyonu ( f = 30) dağılımın merkezi değerindedir ve frekanslar bu değerin her iki tarafında simetrik olarak giderek azalır. Yukarıdaki dağılımın yardımı ile bir frekans poligonu çizersek, Şekil 6.1'de gösterildiği gibi bir eğri elde edeceğiz.
Şekildeki eğrinin şekli tıpkı bir 'Bell' gibidir ve her iki tarafta da simetriktir. Ortalama, Medyan ve Mod değerlerini hesaplarsanız, bu üçünün yaklaşık olarak aynı olduğunu göreceksiniz (Ortalama = Medyan = Mod = 52).
Teknik olarak Normal Olasılık Eğrisi veya basitçe Normal Eğri olarak bilinen 'Çan' şeklindeki eğri ve her üç merkezi eğilim ölçüsünün hepsinin eşit değerlerine sahip olan puanların karşılık gelen frekans dağılımı Normal Dağılım olarak bilinir.
Bu normal eğri, psikolojik ve eğitimsel ölçümlerde büyük öneme sahiptir. Davranışsal yönlerin ölçümünde, normal olasılık eğrisi genellikle referans eğrisi olarak kullanılmıştır.
Dolayısıyla normal olasılık eğrisi simetrik bir çan şeklindeki eğridir. Bazı dağılımlarda, ölçümler veya puanlar araçları hakkında simetrik olarak dağıtılma eğilimindedir. Diğer bir deyişle, vakaların çoğu dağıtımın ortasında ve çok az vaka ise uç uçlarda (alt uç ve üst ve).
Başka bir deyişle, ölçütlerin (puanların) çoğunun dağılımın orta kısmında yoğunlaştığı ve diğer ölçütlerin (puanların) eşit oranda sağa ve sola doğru düşmeye başladığı görülmektedir. Bu, çoğu doğal fenomen ile ve birçok zihinsel ve sosyal özellik ile ilgilidir.
Bu tür simetrik dağılım için en uygun eğriyi çizersek, merkezin her iki tarafında simetrik bir çan şeklindeki eğri şeklini alır.
